Edukiak (2. BH Matematika)

Problemak ebatzi [ 200 Kb]

- Zer da benetako problema?

- Problemen ebazpenean agertzen diren etapak.

- Problemak ebazteko aholku batzuk.

- Problemak ebazteko estrategia batzuk.

- Gerta daitezkeen kasu guztiak aztertu.

- Eskema, irudi edo diagrama bat egin.

- Haztamuz jo (saio-errorea).

- Idazkera egokia aukeratu.

- Kasu konkretuak kontuan hartu.

- Esperimentuak egin.

- Usategiaren printzipioa edo Dirichleten printzipioa.

- Zuhaitz diagrama erabili.

- Egiaztapena: indukzioa eta dedukzioa.

- Prozesu induktiboa.

- Indukzio osoaren metodoa.

- Prozesu deduktiboa.

1

- Ekuazio sistemak. Gaussen metodoa [ 228 Kb]

  Ekuazio linealen sistemak. Soluzioa.

- Sistema baliokideak. Baliokidetasuna aldatzen ez duten transformazioak.

- Sistema bateragarria, bateraezina, determinatua eta indeterminatua.

- Bi edo hiru ezezaguneko ekuazio lineala lerro zuzentzat edo planotzat hartzea. Zuzenen edo planoen posizio erlatiboak sistema motaren arabera (bateragarriak, bateraezinak...). Sistema mailakatuak. Gaussen metodoa. Parametro jakin baten araberako ekuazio-sistema. Berori eztabaidatzeko kontzeptua.

- Ekuazio-sistemak aurretik ikasitako metodoen bidez ebaztea (ordeztuz, laburtuz...).
- Zer sistema mota den ezagutzea (bateragarria, bateraezina...) bera osatzen duten ekuazioen arteko erlazioen gaineko gogoetaren bidez.
- Bi edo hiru ezezaguneko ekuazio-sistemak metodo geometrikoen bidez interpretatzea, kontuan hartuta bateragarria ala bateraezina, determinatua ala indeterminatua den.
- Sistema jakin bat sistema baliokide mailakatu bihurtzea.
- Sistemak Gaussen metodoaren bidez eztabaidatzea eta ebaztea.
- Gaussen metodoa erabiltzea parametro jakin baten araberako sistemak eztabaidatzeko.
- Problemak ekuazio-sistema bihurtzea, ebaztea eta soluzioa interpretatzea.

2

Matrizeak [ 194 Kb]

- Matrizeak. Oinarrizko kontzeptuak: errenkada bektorea, zutabe bektorea, dimentsioa, matrize karratua, iraulia, simetrikoa, triangeluarra...
- Eragiketak matrizeekin: batuketa, biderkadura bider zenbakia, biderketa. Propietateak.
- Matrize karratuak, unitate matrizea, beste baten alderantzizko matrizea.
- Zenbaki errealen n-koteak. Menpekotasun eta askatasun lineala. Oinarrizko propietatea.
- Matrize baten heina.
 

- Oinarrizko nomenklatura erabiltzeko trebetasuna lortzea.
- Matrizeekiko eragiketak egitea.
- Baldintza jakin batzuk betetzen dituen matrizea lortzea.
- Matrize baten alderantzizkoa lortzea kasu errazetan, definizioa oinarritzat hartuta.
- Ekuazio matrizialak ebaztea.
- Beste batzuen n-kote konbinazio lineala lortzea.
- n-kote multzo jakin bat L.M. ala L.A. den egiaztatzea (begiratu baten bidez, argudio teorikoz zen oinarrizko propietatea erabiliz egin daiteke).
- Matrize baten heina lortzea, beraren osagaiak kontuan hartuta (kasu argietan).
- Matrize baten heina Gaussen metodoaren bidez kalkulatzea.
- Parametro jakin baten araberako matrize baten heina eztabaidatzea.

3

Sistemak determinanteen bitartez ebatzi [ 237 Kb]

- Bi ordenako determinanteak. Propietateak.
- Hiru ordenako determinanteak. Propietateak.
- Matrize baten minorra. Matrize karratu baten elementu baten minor osagarria eta adjuntua. Propietateak.
- Matrize baten heina: minor ez-nuluen ordena maximoa.
- Rouchéren teorema.
- Cramerren erregela.
- Sistema homogeneoak.
- Matrize baten alderantzizkoaren adierazpena, beraren elementuen adjuntuetan oinarrituta.
 

- Bi mailako determinanteak kalkulatzea eta euren propietateak erabiltzea.
- Hiru ordenako determinanteak kalkulatzea, Sarrusen erregela erabiliz.
- 4 ordenako determinantea garatzea lerro baten elementuetatik.
- Matrize baten heina zehaztea, minorretan oinarrituta.
- Rouchéren teorema erabiltzea ekuazio-sistemak eztabaidatzeko.
- Cramerren erregela erabiltzea sistema determinatuak ebazteko. Cramerren erregela erabiltzea sistema indeterminatuak ebazteko.
- Sistema homogeneoak ebaztea.
- Rouchéren teorema eta Cramerren erregela erabiltzea parametro jakin baten araberako sistemak ebazteko.
- Matrize baten alderantzizkoa kalkulatzea determinanteen bidez.

4

Programazio lineala [ 161 Kb]

- Programazio lineala: helburu funtzioa, murrizketak, baliotasun-eskualdea.

- Murrizketak era grafikoan adieraztea planoerdien bidez.
- Baliotasun-barrutia era grafikoan adieraztea planoerdien arteko ebaketen bidez.
- Helburu funtzioa kokatzea baliotasun-barrutiaren gainean, soluziorik onena aurkitzeko.
- Programazio linealeko problematzat har daitezkeen enuntziatuak hizkera algebraikora itzultzea eta ebaztea.
 

- Bete diren prozesuak eta emaitzak ordenan eta argi aurkezteko zaletasuna izatea.
- Matematikako ikurrek duten erabilgarritasuna aintzat hartzea.
- Era guztietako erlazioak adierazteko eta egoerak aurkezteko eta ebazteko hizkera matematikoak duen erraztasuna aintzat hartzea.
- Programazio linealekin loturiko problemen azken emaitzak eta problemotan proposaturikoa alderatzeko ohitura hartzea.
- Ikaskideen estrategiak, egiteko moduak eta soluzioak jakiteko eta errespetatzeko joera izatea.

5

Limiteak eta jarraitasuna [ 1,8 Mb]

- Funtzio baten limitea ,

, 

 kasuetan. Aldeko limiteak.
- Eragiketak limite finituekin.
- Ordena bereko infinituak. Beste batena baino goragoko ordenako infinitua. Eragiketak adierazpen infinituekin.
- Indeterminazioa. Adierazpen indeterminatuak.
- Jarraitasuna puntu batean. Etenaren zergatiak.
 

- Limiteak era grafikoan adieraztea honako kasu hauetan: ,  ,  ,  ,  .
- Berehalako limiteak kalkulatzea (limite finitu argiekin eragiketak egitea edo ordena desberdineko infinituak konparatzea).
- Limiteak kalkulatzea:  edo  .
- Polinomioen edo bestelako adierazpen infinitu batzuen zatidura:
- Adierazpen infinituen arteko kendurak.
- Berretura.
- Limiteak kalkulatzea honako kasu hauetan:
-,  ,  :

- Zatidurak.
- Kendurak.
- Berreturak.
- Puntu edo plano batean jarraitasuna ala etena dagoen jakitea, eta etenaren zergatia seinalatzea.

6

Deribatuak. Deribazio teknikak. Aplikazioak [ 11,2 Mb]

- Batez besteko aldakuntza-tasa.
- Funtzio baten deribatua puntu batean. Interpretazioa. Aldeko deribatuak.
- Funtzio deribatua. Ondoz ondoko deribatuak.
- Funtzio elementalen eta eragiketen emaitzen deribazio-erregelak. Frogak.
- Funtzio baten deribatuaren eta dagokion kurbaren arteko erlazioak.
- Funtzio baten bigarren deribatuaren eta dagokion kurbaren arteko erlazioak.
 

- Funtzio baten puntu bateko deribatua lortzea, definiziotik abiatuz.
- Beraren grafikoaren bidez adierazitako funtzio deribatu baten gutxi gorabeherako adierazpen grafikoa egitea.
- Funtzio baten puntu bateko deribagarritasuna aztertzea, aldeko deribatuak aztertuta.
- Funtzio baten deribatua kalkulatzea.
- Kurba baten ukitzailea lortzea puntu batean.
- Funtzioa gorakorra (edo beherakorra) den puntuak edo tarteak identifikatzea.
- Maximo eta minimo erlatiboak lortzea.
- Optimizazio-problemak ebaztea.
- Funtzioa ahurra edo ganbila den puntuak edo tarteak identifikatzea. Inflexio-puntuak lortzea.

7

Funtzioen adierazpena [ 15,9 Mb]

- Kurbetarako oinarrizko erremintak:
- Definizio-eremua, simetriak, periodikotasuna.
- Adar infinituak: asintotak eta adar parabolikoak.
- Puntu singularrak, inflexio-puntuak, ardatzekiko ebakidurak...
- Funtzio-familia batzuek dituzten berezitasunak jakitea.
 

- Kurbetarako behar diren oinarrizko erremintak trebe erabiltzea:
- Definizio-eremua lortzea eta jarraitua ala etena den egiaztatzea.
- Egon daitezkeen simetriak eta periodikotasunak identifikatzea.
- Adar infinituak lortzea.
- Puntu singularrak, inflexio-puntuak, ardatzekiko ebakidurak... lortzea.
- Hainbat eratako funtzioak adieraztea, familia horretako kurben berezitasunak erabiliz, ahal bada.

8

Integraletan hasi [ 6,6 Mb]

- Funtzio baten jatorrizkoa.
- Kurba baten azpiko azalera.
- Azaleraren eta funtzioaren arteko erlazio analitikoa.
- Kalkuluaren oinarrizko teorema.
- Barrowren erregela.
- Integralaren zeinua.
- “Integral” eta “kurbak mugaturiko azalera” kontzeptuen arteko desberdintasuna.
 

- Funtzio elementalen jatorrizkoak kalkulatzea.

- Funtzio konposatuen jatorrizkoak kalkulatzea.

- Funtzio jakin baten kurbaren azpiko azaleraren magnitudea identifikatzea. (Adibidez:    funtzio baten azpian, azalerak    esan nahi du, hau da, egindako espazioa.)

-  funtzio baten grafikoa emanda, zuzen aukeratzea    funtzioaren grafikoa hainbaten artean.

-   funtzioaren grafikoa gutxi gorabehera egitea, -ren grafikotik abiatuta.

- Barrowren erregela erabiltzea integral mugatuak modu automatikoan kalkulatzeko.

- Bi abzisaren artean kurba baten eta  X  ardatzaren artean dagoen azalera kalkulatzea.

- Bi kurbaren arteko azalera kalkulatzea.

9

Probabilitaten kalkulua [ 7,5 Mb]

- Gertaerak eta eragiketak. Propietateak.
- Maiztasuna eta probabilitatea.
- Gertaera baten maiztasun absolutua eta erlatiboa.
- Laplaceren legea.
- Probabilitatearen legea.
- Gertaeren probabilitate baldintzatua eta askatasuna.
- Probabilitate totalaren formula.
- Bayesen formula.
- Probabilitatearekin loturiko gertaerak eta erlazioak modu grafikoan ikusteko posibilitatea: kontingentzia-taulak.
- Probabilitatearekin loturiko gertaerak eta erlazioak ikusteko posibilitatea: zuhaitz-diagrama.
 

- Honako hauek ezagutzea edo lortzea: gertaera osagarriak, bateraezinak, gertaeren lotura, gertaeren arteko ebaketak...
- Laplaceren legea erabiltzea probabilitate errazak kalkulatzeko.
- Bi gertaeraren artean menpekotasuna ala askatasuna dagoen ikustea.
- Probabilitate baldintzatuak kalkulatzea.
- Probabilitate totalak kalkulatzea.
- “A posteriori” deritzen probabilitateak kalkulatzea.
- Kontingentzia-taulak erabiltzea eta interpretatzea, probabilitatearekin loturiko problemak aurkezteko eta ebazteko.
- Zuhaitz-diagrama erabiltzea probabilitatearekin loturiko problema batzuk aurkezteko eta ebazteko. Zuhaitz-diagrama erabiltzea saiakuntza konposatuekin loturiko problemak ebazteko prozesua deskribatzeko. Probabilitate totalak eta “a posteriori” deritzenak kalkulatzea.

- Norberaren estrategiak erabiltzea aintzat hartzea, probabilitatearekin loturiko problemak ebazteko.

- Probabilitatearekin loturiko informazioen aurrean interesa eta jarrera kritikoa izatea.

- Algoritmorik erabiltzea eskatzen ez duten emaitzak buruz lortzeko ohitura hartzea.

- Probabilitatearekin loturiko problemetan bete den prozesua eta lortu diren emaitzak ordenan eta argi aurkezteko zaletasuna izatea.

10

Lagin estatistikoak [ 1 Mb]

- Populazioa eta lagina. Laginen betekizuna.
- Laginketa. Laginketa motak.
- Ausazko edo zorizko sinplea.
- Ausazko sistematikoa.
- Ausazko geruzatua.
- Banaketa normala.
- n tamainako laginen portaera: limitearen teorema zentrala.
- Banaketa binomiala. Normalera hurbildu.
- Laginen proportzioen banaketa.
 

- Laginak ausazko laginketa sinple, sistematiko eta geruzatuaren bidez lortzea.
- Ausazko zenbakiak erabiltzea zenbaki bat zoriz lortzeko N-ren artean.
- Banaketa normala trebetasunez erabiltzea.
- Tarte bereizgarriak lortzea.
- Limitearen teorema zentrala erabiltzea, laginen batez bestekoetan tarte bereizgarriak lortzeko.
- Probabilitateak kalkulatzea banaketa binomialean, normalera hurbilduz.
- Laginen proportzioetarako tarte bereizgarriak lortzea.

- Laginekin loturiko problemak ebazteko zaletasuna izatea.

- Edozein kalkulu berrikusteko eta hobetzeko joera izatea.

- Lortu diren emaitzen eta ebatzitako ariketetan bete diren prozesuen esanahia ulertzeko joera hartzea.

11

Inferentzia estatistikoa [ 1 Mb]

- Konfiantza tartea, konfiantza-maila eta onar daitekeen errore maximoa.
- Laginaren tamainaren, konfiantza-mailaren eta errore-bornearen arteko erlazioa.
- Estatistikazko hipotesien testak.
- Alde bateko eta alde biko testak.
- Estatistikazko testetan gerta daitezkeen errore motak.

- Konfiantza tarteak lortzea batez besteko edo proportzio baterako.
- Nolabaiteko errore-baldintza eta konfiantza-maila onartuta, inferentzia egiteko laginak zer tamaina izan behar duen kalkulatzea.
- Batez bestekoaren edo proportzioaren gaineko hipotesien testak egitea.